التحق بكتّاب القرية وحفظَ القرآنَ الكريم. وبعد أن أتمَّ تعليمَه الأَوَّلي، التحق بمعهدِ طنطا الأزهريِّ وتخرَّج فيه عام 1930، ثم التحقَ بكليةِ اللغةِ العربيةِ في الأزهرِ، حيث درس النحو والصرف والأدب والتاريخ على يد صفوة من العلماءِ مثل الشيخِ إبراهيمَ الجبالي، والشيخِ سليمان نوّار، والشيخِ محمَّد محيي الدّين، والأستاذِ أحمد نجاتي، والأستاذِ عليِّ الجارم، والدكتور عبدالوهاب عزّام. وبعد تخرُّجه من كلية اللغة العربية عام 1934، التحقَ بالدِّراساتِ العليا التي أنشئت في ذلكَ الوقتِ، وحصلَ على شهادةِ التخصُّصِ، وهي توازي درجة الماجستير عام 1940، والعالميَّةِ العاليَّةِ، وهي توازي درجة الدكتوراة عام 1943.
بعدَ حصولِ الشيخِ عضيمة على الشهادةِ العالميةِ أوفد في عام 1947 إلى مكّةَ المكرمة وفيها بدأ العملَ في كتابِه الشهير: “دراساتٍ لأسلوب القرآنِ الكريمِ”، ثم انتقل للعمل في مركزِ الدراساتِ العليا في واحةِ جغبوب في ليبيا، وبقيَ فيها حتى عام 1969. وفي عام 1972، التحق بجامعة الإمام محمّد بن سعود الإسلامية في الرياض بالمملكة العربية السعودية.
للشيخ عضيمة إنتاج علمي متميِّز في طليعته كتابه: “دراسات لأسلوب القرآن الكريم”، في أحد عشر مجلدًا، تزيدُ صفحاتُ كلِّ مجلدٍ منها على ستمائة صفحة. وهو عمل ضخم وجليل، لم يسبقه إليه أحد، استغرق تأليفه حوالي 35 عامًا، وعرَّفه مؤلفه بأنه معجم نحوي صرفي للقرآن الكريم. وهو في الحقيقة عمل علمي عظيم وأوسع من أن يقتصر على كونه معجمًا نحويًا وصرفيًا، بل هو أول بحث يتناول دراسة أسلوب القرآن في جميع رواياته التي وصلتنا ما تواتر منها وما لم يتواتر؛ وينم عن معرفةٌ صاحبه العميقة لدقائقِ علمِ النحوِ وعلمِ الصرفِ وعلمِ اختلافِ الأساليبِ.
كان للشيخ عضيمة – إلى جانب التدريس والتأليف – جهود عظيمة في الإشراف على رسائل الماجستير والدكتوراة في جامعة الإمام محمد بن سعود. ونال على وسام العلوم والفنون من الدرجة الأولى من جمهورية مصر العربية تقديرًا لأعماله الجليلة.
كتبت هذه السيرة الذاتية في عام استلامه للجائزة.