كان نابغاً في دراسته ومتطلعاً لأن يُصبح محامياً، ولكنه التحق بالخدمة العسكرية ضمن عدّة مئات ممن اختارهم الجيش لتدريبهم كمهندسين. ولما اتضحت حاجة الجيش لأطباء، إلى جانب المهندسين، أجري لهم اختبار ذكاء واختير منهم ستة، أحدهم شمْوي، الذي أُلحق بجامعة بايلور لدراسة البكالوريوس، تمهيداً للالتحاق بكليات الطب، وقبلته كلية الطب في جامعة فاندربلت دون أن يكمل البكالوريوس، فانتقل إليها، وحصل على الدكتوراة في الطب عام 1949. بعد تخرُّجه، عمل طبيباً مقيماً بجامعة مينيسوتا بهدف التخصص في جراحة الأعصاب. وفي ذلك الوقت، كانت تُجرى أولى جراحات القلب المفتوح في العالم في جامعة مينيسوتا، وكان الجراحون يقومون بتبريد القلب ثم توصيل الأوعية الدموية للمريض بأوعية ذويه، حيث لم يكن جهاز القلب والرئتين الصناعي معروفاً بعد. ساعد شمْوي أساتذته في تلك الجراحات وفُتن بها وأدرك أهميتها في المستقبل، فقرَّر أن يتخصَّص في جراحة القلب والصدر، وظلَّ يتدرَّب على يد رواد جراحة القلب المفتوح في مينيسوتا تسعة أعوام، نال خلالها زمالة الجراحة، ودكتوراة الفلسفة من تلك الجامعة. ثم عمل جراحاً في سانتا باربارا لفترة قصيرة، التحق بعدها بقسم الجراحة في جامعة ستانفورد، و تدرَّج في مناصبها حتى أصبح أستاذاً، وأسس فيها قسم جراحة القلب والصدر. وبعد تقاعده عيَّنته الجامعة في منصب أستاذ كرسي شارلس د. فيلد لجراحة الصدر.
يُعدُّ البروفيسور شمْوي الرائد الفعلي لزراعة القلب، حيث بدأ في تطوير تقنية زراعته في حيوانات التجارب قبل أكثر من 40 عامًا، وبُنيت أول جراحة لزراعة القلب، بشكل تام، على الأسس والتجارب التي أجراها، كما ابتكر طريقة لتشخيص رفض القلب المزروع بواسطة خزعات من داخل عضلة القلب، مما اعتبر في ذلك الوقت تطوراً مهمّاً بالنسبة لزراعة القلب، وأرسى أسس استخدام العقاقير المانعة للرفض ومتابعة عمليات زراعة القلب والسيطرة على مضاعفاتها، كما أسس مع فريقه في ستانفورد واحداً من أنجح مراكز زراعة القلب في العالم. وهو أول من أجرى جراحة ناجحة لزراعة القلب والرئتين معاً في الإنسان. نُشر له أكثر من 500 بحث طبي، وعدد كبير من فصول الكتب، كما اشترك في تحرير كتاب مهم عن زراعة أعضاء الصدر. وتتلمذ على يديه عشرات من جراحي القلب من داخل بلاده وخارجها.
حصل البروفيسور شمّوي على العديد من الجوائز والميداليات، منها جائزة لاريخ من الجمعية العالمية للجراحة عام 1971، وجائزة مدوار من جمعية زراعة الأعضاء عام 1992، وجائزة التميُّز من جامعة فاندربلت عام 1983، وميدالية لستر من الكلية الملكية للجراحين في بريطانيا عام 1994، وميدالية معهد أمراض القلب في تكساس عام 1972، وجوائز من كلية الجراحين، ورابطة الجراحين، ورابطة جراحي الصدر في الولايات المتحدة. كما منحته ثمان جامعات درجة الدكتوراة الفخرية، وانتخب زميلاً فخرياً للكلية الملكية للجراحين في إنجلترا، والكلية الملكية للجراحين والأطباء في جلاسجو، والكلية الملكية للجراحين في أدنبره، والكلية الملكية للجراحين في إيرلندا، ورئيساً فخرياً مدى الحياة للجمعية العالمية لزراعة القلب والرئة.
كتبت هذه السيرة الذاتية في عام استلامه للجائزة.
توفي البروفيسور نورمان إدوارد شمْوي في بالو ألتو، كاليفورنيا بتاريخ 2006/2/10.